Einführung in die Mathematik – Matrizen (Teil 1) ist der Beginn einer Seminarreihe zur Mathematik. Den Start bildet die begriffliche Einführung von Matrizen, Vektoren und Skalaren.
Grundbegriffe der Matrizenrechnung
Matrizen und Vektoren
Eine Funktion ordnet einer (oder auch mehreren) unabhängigen Variablen eindeutig einen Wert der abhängigen Variablen zu. In der Wissenschaft nutzt man dies, um Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen mittels Funktionen zu beschreiben. In der Betriebswirtschaftslehre hat man es beispielsweise mit Zusammenhängen und/oder Beziehungen zu tun, die oftmals durch Tabellen beschrieben werden. Im Folgenden stelle ich einige Beispiele vor.
Entfernungen zwischen Ortschaften können als als Tabelle dargestellt werden. Solche Tabellen finden sich in handelsüblichen Autoatlanten.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 7 | 14 | 5 | 11 |
| B | 7 | 0 | 21 | 17 | 32 |
| C | 14 | 21 | 0 | 5 | 6 |
| D | 5 | 17 | 5 | 0 | 1 |
| E | 11 | 32 | 6 | 1 | 0 |
Ein Warenhaus besitzt 4 Läger und 7 Filialen. Die Kosten für eine Tonne transportierter Ware von den Lagerhäusern zu den Filialen, die innerhalb einer betrachteten Periode angefallen sind, lassen sich als Tabelle darstellen. Die Filialen sind mit F1… F7 gekennzeichnet, die Läger mit A bis D.
| F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 14 | 10 | 3 | 1 | 1 | 6 | 16 |
| B | 5 | 11 | 7 | 8 | 10 | 6 | 13 |
| C | 2 | 6 | 5 | 12 | 4 | 3 | 3 |
| D | 1 | 10 | 15 | 5 | 11 | 7 | 5 |
Nimmt man nun aus einer solchen Tabelle lediglich die Zahlen und setzt sie in Klammern, so erhalten wir eine so genannte Matrix.
$$\begin{pmatrix}
14 & 10 & 3 & 1 & 1 & 6 & 16 \\
5 & 11 & 7 & 8 & 10 & 6 & 13 \\
2 & 6 & 5 & 12 & 4 & 3 & 3 \\
1 & 10 & 15 & 5 & 11 & 7 & 5
\end{pmatrix}$$
Defintion 1.1
Ein rechteckiges Zahlenschema der Form
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1j} & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2j} & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ij} & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mj} & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
heißt Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten oder auch \(m\times n\)-Matrix.
Den ersten Index (Zeilenindex) der Elemente bezeichnet man üblicherweise mit der Laufvariablen \(i\), den zweiten (Spaltenindex) mit \(j\). \(m\) und \(n\) bezeichnen die so genannte Ordnung der Matrix. Matrizen werden gerne mit großen, halbfetten Buchstaben bezeichnet. Alternativ verwendet man auch normale Kleinbuchstaben mit Indizes in Klammern geschrieben: \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})\).
Defintion 1.2
Eine Matrix, die aus nur einer Spalte besteht, heißt Spaltenvektor:
$$
\begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{i} \\
\vdots \\
a_{m}
\end{pmatrix}
$$
Eine Matrix, die aus nur einer Zeile besteht, heißt Zeilenvektor:
\((a_1, a_2, \dots , a_j, \dots , a_n)\).
In der Symbolschreibweise werden Spaltenvektoren gerne mit kleinen, halbfetten Buchstaben (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), …) bezeichnet. Der \(j\)-te Spaltenvektor \(\boldsymbol{a}\) einer Matrix wird dann mit \(\boldsymbol{a_j}\) notiert.
Analoges gilt für Zeilenvektoren. Um ihre Zeileneigenschaft anzuzeigen, verwendet man üblicherweise einen Hochstrich oder ein hochgestelltes \(T\): \(\boldsymbol{a^{\prime}}\) oder \(\boldsymbol{a^{T}}\). Der Index wird gemäß Konvention mit \(i\) betitelt: Der \(i\)-te Zeilenvektor \(\boldsymbol{a}\) ist demzufolge \(\boldsymbol{a_i^{\prime}}\) oder \(\boldsymbol{a_i^{T}}\).
Während wir bei einer Matrix von ihren Elementen sprechen, heißen diese bei Vektoren Komponenten.
Einen Sonderfall stellt die \(1 \times 1\)-Matrix dar. Sie besitzt nur ein einziges Element. Wir nennen das auch einen Skalar.
Betrachten wir ein typisches Beispiel der Input-Output-Analyse aus der Volkswirtschaftslehre. Dabei sollen in einer Volkswirtschaft drei Industriezweige existieren. In jedem Industriezweig werden eigene Produkte sowie auch Produkte aus den jeweils anderen Industriezweigen verarbeitet. Alle Produkte, die nicht als Input für die Produktion verwendet werden, gehen an die Endnachfrager. Die Beziehungen lassen sich tabellarisch wie folgt darstellen:
| Industriezweig | A | B | C | Endnachfrage | Gesamtoutput |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 3 | 1 | 4 | 9 |
| B | 4 | 1 | 1 | 5 | 11 |
| C | 1 | 3 | 3 | 2 | 9 |
In Matrix- beziehungsweise Vektorschreibweise sieht das dann so aus:
| Industriezweige und Endnachfrage | Gesamtoutput |
|---|---|
| $$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & & & & & & 4\\ 4 & 1 & 1 & & & & & & 5\\ 1 & 3 & 2 & & & & & & 2\\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \begin{pmatrix} 9 \\ 11 \\ 8 \\ \end{pmatrix} $$ |
Die Komponenten des Spaltenvektors des Gesamtoutputs sind die Summen der jeweils zugehörigen Zeilenvektoren, welche die Inputmengen sowie die Endnachfragen je Industriezweig angeben. So produziert der Industrie zwei A ingesamt 9 Einheiten des von ihm produzierten Gutes. Davon geht eine Einheit wieder in die eigene Produktion ein, die Industriezweige B und C verbrauchen drei und eine Einheit. Vier Produktionseinheiten stehen den Endnachfragern zur Verfügung.
Weitere Begriffe und Zusammenhänge zu Matrizen und Vektoren
Im Folgenden wollen wir die wichtigsten Begriffe und Zusammenhänge in Verbindung mit Matrizen und Vektoren besprechen. Soweit keine speziellen Defintionen angegeben werden, gelten die gegebenen immer auch für Vektoren als Sonderfälle von Matrizen.
Defintion 1.3
Zwei \(m\times n\)-Matrizen \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})\) und \(\boldsymbol{B} = (b_{ij})\) sind gleich, \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\), wenn \(a_{ij} = b_{ij}\) für \(i=1, \dots , m\) und \(j=1, \dots, n\) gilt.
Das heißt, es können nur Matrizen der gleichen Ordnung zueinander gleich sein!
Definition 1.4
Gegeben seien zwei \(m\times n\)-Matrizen \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})\) und \(\boldsymbol{B} = (b_{ij})\).
Gilt \(a_{ij}<b_{ij}\) für \(i=1, \dots , m\) und \(j=1, \dots, n\), also für alle Elemente der Matrizen, so schreiben wir \(\boldsymbol{A}<\boldsymbol{B}\). Gilt \(a_{ij}\leq b_{ij}\) für \(i=1, \dots , m\) und \(j=1, \dots, n\), also für alle Elemente der Matrizen, so schreiben wir \(\boldsymbol{A}\leq \boldsymbol{B}\).
Auf diese Weise sind Ungleichungen für Matrizen definiert.
Eine Spitzfindigkeit der Notation soll nicht verschwiegen werden, die zumindest einige Autoren vornehmen. Gilt bei \(\boldsymbol{A}\leq \boldsymbol{B}\) für mindestens ein Elementepaar \(a_{ij}<b_{ij}\) (echt kleiner), dann wird dies auch mit \(\boldsymbol{A}\leq \boldsymbol{B}\) notiert. An diese Konvention halten sich jedoch nicht alle Autoren.
Definiton 1.5
Eine Matrix, bei der sämtliche Elemente den Wert Null haben, heißt Nullmatrix. Sie wird auch mit \(\boldsymbol{0}\) bezeichnet. Ein Vektor mit ausschließlich Nullwerten heißt Nullvektor.
Definition 1.6
Eine \(n\times n\)-Matrix, bei der Zeilen- und Spaltenanzahl identisch sind, heißt quadratische Matrix \(n\)-ter Ordnung.
Bei einer quadratischen Matrix bilden die Elemente \(a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots\) die Hauptdiagonale. Die Elemente \(a_{ij}\) mit \(i+j=n+1\) bilden die Nebendiagonale, also die Diagonale von links unten nach rechts oben.
$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & \boldsymbol{a_{14}} \\
{a_{21}} & \boldsymbol{a_{22}} & \boldsymbol{a_{23}} & {a_{24}} \\
{a_{31}} & \boldsymbol{a_{32}} & \boldsymbol{a_{33}} & {a_{34}} \\
\boldsymbol{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & \boldsymbol{a_{44}} \\
\end{pmatrix}
$$
Definition 1.7
Eine quadratische Matrix \(n\)-ter Ordnung heißt Diagonalmatrix \(n\)-ter Ordnung, wenn alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind.
Definition 1.8
Eine Diagonalmatrix \(n\)-ter Ordnung heißt skalare Matrix, wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonalen den gleichen Wert besitzen.
Definition 1.9
Eine Diagonalmatrix \(n\)-ter Ordnung heißt Einheitsmatrix \(n\)-ter Ordnung, wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 besitzen. Abkürzend wird eine solche Matrix mit \(\boldsymbol{E}\) notiert.
Hier je ein konkretes Beispiel für eine Diagonal- und eine Einheitsmatrix 6-ter Ordnung.
| Diagonalmatrix: | Einheitsmatrix: |
|---|---|
| $$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{66} \\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ |
Definition 1.10
Ein Vektor, dessen \(i\)-te Komponente 1 ist und der ansonsten nur 0-Werte aufweist, heißt \(i\)-ter Einheitsvektor. Wir notieren ihn mit \(e_i\).
Definition 1.11
Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen den Wert 0 haben, heißt Dreiecksmatrix.
Wir unterscheiden bei den Dreiecksmatrizen nach oberen und unteren Dreiecksmatrizen. Hier je ein Beispiel für entsprechende Matrizen 6-ter Ordnung:
| Obere Dreiecksmatrix: | Untere Dreiecksmatrix: |
|---|---|
| $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & a_{45} & a_{46} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{55} & a_{56} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{66} \\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & 0 \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} \\ \end{pmatrix} $$ |
Definition 1.12
Sei \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})\) eine \(m\times n\)-Matrix. Die \(n\times m\)-Matrix \(\boldsymbol{B} = (b_{ij})\) mit \(b_{ji}=a_{ij}\) für \(j=1\dots n\) und \(i=1\dots m\) heißt transponierte Matrix zu \(\boldsymbol{A}\) oder auch einfach Transponierte zu \(\boldsymbol{A}\). Sie wird mit \(\boldsymbol{A}^\prime\) oder \(\boldsymbol{A}^T\) notiert.
Hier ein Beispiel:
| $$ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \boldsymbol{A}^\prime = \begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} $$ |
Die erste Zeile der Matrix \(\boldsymbol{A}\) wird also zur ersten Spalte ihrer Transponierten \(\boldsymbol{A}^\prime\) und so fort. Umgekehrt kann man natürlich auch sagen, die erste Spalte der Matrix \(\boldsymbol{A}\) wird zur ersten Zeile ihrer Transponierten \(\boldsymbol{A}^\prime\) und so weiter.
Definition 1.13
Gilt für eine quadratische Matrix \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^\prime\), dann heißt die Matrix symmetrisch.
Auf den Hinweis, es müsse sich um eine quadratische Amtrix handeln, hätte man in der Definition verzichten können. Die Gleichheit von \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^\prime\) ist ausschließlich bei quadratischen Matrizen möglich. Das heißt: Eine symmetrische Matrix ist auch immer eine quadratische Matrix.
Definition 1.14
Eine Matrix \(\boldsymbol{A}^*\), die durch Streichen von Zeilen und/oder Spalten aus einer Matrix \(\boldsymbol{A}\) resultiert, heißt Teilmatrix von \(\boldsymbol{A}\).
Zur besseren Unterscheidung werden verschiedene Teilmatrizen mit einem Index versehen. Der hat jedoch nichts mit den gestrichenen Zeilen oder Spalten zu tun. Sehen wir uns ein konkretes Beispiel an.
| $$ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 8 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \boldsymbol{A}^{*}_1 = \begin{pmatrix} 8 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} $$ |
$$ \boldsymbol{A}^{*}_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix} $$ |
Bei \(\boldsymbol{A}^{*}_1\) wurde die dritte Zeile von \(\boldsymbol{A}\) gestrichen. Bei \(\boldsymbol{A}^{*}_2\) wurden die dritte Zeile und die erste Spalte von \(\boldsymbol{A}\) gestrichen. Beide sind Teilmatrizen \(\boldsymbol{A}\).
Skript-Download
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Ausblick
Nachdem nun die Grundbegriffe eingeführt und geklärt sind, beginnt die nächste Folge „Einführung in die Mathematik – Matrizen (Teil 2)“, sich mit den auf Matrizen definierten Operationen zu beschäftigen.
